«تنش موثر» (Effective Stress)، نیرویی است که مجموعه‌ای از ذرات را به صورت صلب در کنار یکدیگر نگه می‌دارد. این نیرو معمولاً در موادی نظیر شن، ماسه یا خاک مشاهده می‌شود. در این مقاله، شما را با مفهوم تنش موثر آشنا خواهیم کرد.

در صورتی که تعدادی سکه را بین انگشتان خود قرار دهید و به آن‌ها فشار وارد کنید، سکه‌ها در کنار یکدیگر باقی می‌مانند. اگر فشار بین انگشتان خود را کاهش دهید، سکه‌ها از هم جدا می‌شوند و در آستانه افتادن قرار می‌گیرند. به همین ترتیب، ذرات یک تپه شنی نیز مانند یک مایع در کنار یکدیگر قرار دارند و از هم جدا نمی‌شوند. در واقع، وزن این شن‌ها ذرات را در آرایش فعلی‌شان و کنار یکدیگر نگه می‌دارد. این وزن و فشار همان تنش موثر است.

تنش موثر با اعمال نیروهای اضافی به راحتی تغییر می‌کند. این مسئله در هنگام قدم زدن بر روی تپه‌های شنی کاملاً مشهود است. از این‌رو، در مطالعه پایداری شیب و روانگرایی خاک (مخصوصاً در هنگام زلزله)، عامل مهم تنش موثر باید در نظر گرفته شود.

«کارل فون ترزاقی» (Karl von Terzaghi)، یکی از مشهورترین مهندسین عمران و ژئوتکنیک جهان که به پدر مکانیک خاک نیز معروف است، اولین رابطه محاسبه تنش موثر را در سال 1925 ارائه کرد. واژه موثر برای ترزاقی، به معنای تنشی بود که بر روی حرکت خاک یا ایجاد جابجایی‌ها تأثیر داشت. این تعریف، تنش میانگین اعمال شده به اسکلت خاک را نشان می‌دهد.

تنش موثر (‘σ) اعمال شده بر روی یک خاک، با استفاده از دو پارامتر تنش کل (σ) و فشار آب منفذی (u) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\sigma ‘=\sigma -u$$

معمولاً در مثال‌های ساده، پارامترهای بالا توسط روابط زیر به دست می‌آیند:

$$\begin{array}{cc}\sigma & =H_{soil}{\gamma }_{soil}\\ u& =H_w{\gamma }_w\end{array}$$

H_soil: ارتفاع خاک؛ γ_soil: چگالی خاک؛ H_w: ارتفاع سطح آب زیرزمینی؛ γ_w: چگالی آب

همانند مفهوم تنش، این فرمول نیز ساختاری برای تجسم نیروهای اعمال شده بر یک توده خاک، مخصوصاً برای مدل‌های ساده تحلیل پایداری شیب به همراه یک سطح لغزش را ارائه می‌کند. در این مدل‌ها، دانستن وزن خاک بالای سطح لغزش (به همراه آب) و فشار آب منفذی درون سطح (با فرض اعمال فشار به صورت یک لایه محصورشده) اهمیت بالایی دارد. با این وجود، رابطه تنش موثر هنگام در نظر گرفتن رفتار واقعی ذرات خاک در شرایط مختلف پیچیده‌تر می‌شود زیرا هیچ یک از پارامترهای این رابطه مستقل نیستند.

مجموعه‌ای از شن و ماسه‌های کروی کوارتز را در نظر بگیرید که آزادانه و با آرایشی همانند شکل زیر در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند. در شکل زیر، یک تنش تماسی در نواحی اتصال کره‌ها قابل مشاهده است (نواحی پر رنگ). اگر تعداد کره‌ها بیشتر شود، تنش‌های تماسی نیز افزایش می‌یابند. این افزایش تا هنگام ایجاد یک ناپایداری اصطکاکی (اصطکاک دینامیک) و احتمالاً شکست ادامه خواهد داشت. پارامتر مستقل تأثیرگذار بر روی ناحیه تماس (نرمال و برشی) بین کره‌ها، نیروی کره‌های بالایی است. این پارامتر را می‌توان با استفاده از چگالی میانگین مجموعه کره‌ها و ارتفاع کره‌های بالایی محاسبه کرد.

آرایش کره‌ها و نحوه اتصال آن‌ها

اگر کره‌ها را همانند شکل زیر درون یک بِشِر قرار دهیم و آن را با مقداری آب پر کنیم، ذرات با توجه به چگالی‌شان شروع به شناور شدن درون آب می‌کنند (خاصیت شناوری). خاصیت شناوری در مواد تشکیل شده از خاک طبیعی بسیار قابل توجه‌تر از دیگر مواد است. به عنوان مثال، در هنگام بلند کردن یک قطعه سنگ بزرگ درون آب، تأثیر این خاصیت به خوبی مشاهده می‌شود. تنش تماسی بین کره‌ها تا رسیدن آب به بالاترین نقطه مجموعه کاهش می‌یابد اما پس از این نقطه و با اضافه کردن آب بیشتر دیگر هیچ تغییری در تنش تماسی رخ نخواهد داد. در این وضعیت، فشار آب بین کره‌ها (فشار آب منفذی) بیشتر می‌شود اما تنش موثر ثابت باقی می‌ماند زیرا مفهوم تنش کل با وزن آب بالای کره‌ها در ارتباط است. این مسئله، مفهوم تنش موثر را پیچیده‌تر می‌کند. برای محاسبه این تنش در هر نقطه می‌توان از چگالی شناوری کره‌ها (خاک) و ارتفاع کره‌های بالایی استفاده کرد.

غوطه‌ور شدن کره‌ها در آب باعث کاهش تنش موثر می‌شود.

در شرایط وجود فشار آب منفذی غیر هیدرو استاتیک، مفهوم تنش موثر بسیار جالب‌تر می‌شود. هنگام وجود گرادیان فشار منفذی، آب زیرزمینی بر اساس معادله نفوذپذیری یا همان «قانون دارسی» (Darcy’s Law) جریان می‌یابد. در مدل‌های کروی، این مسئله مشابه ورود یا خروج آب بین کره‌ها است. در صورت ورود آب، نیروی نَشت در جهت جدایش کره‌ها و کاهش تنش موثر عمل می‌کند. بنابراین، توده خاک ضعیف‌تر می‌شود. در صورت خروج آب، کره‌ها به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شوند و تنش موثر افزایش می‌یابد.

ورود آب بین کره‌ها و کاهش تنش موثر

دو پیامد مهم وجود فشار آب منفذی غیر هیدرو استاتیک عبارت است از:

• «ماسه روان» (Quicksand): در این پدیده گرادیان آب زیرزمینی و نیروی نَشت در خلاف جهت جاذبه عمل می‌کنند.
• «اثر قلعه شنی» (Sandcastle Effect): در این وضعیت، زهکشی آب و اثر مویینگی باعث تقویت شِن می‌شوند.

در مجموع، تنش موثر نقش مهمی در پایداری شیب و دیگر مسائل مهندسی ژئوتکنیک و زمین‌شناسی مهندسی نظیر نشست‌های مرتبط با آب زیرزمینی دارد. امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد.

«پلاستیسیته جریان» (Flow plasticity)، یکی از تئوری‌های موجود در مکانیک جامدات است که به توصیف رفتار پلاستیک در مواد مختلف می‌پردازد. تئوری‌های پلاستیسیته جریان بر مبنای فرضیات قانون جریان شکل گرفته‌اند. این فرضیات به منظور تعیین تغییر شکل پلاستیک مواد مورد استفاده قرار می‌گیرند.

در تئوری‌های پلاستیسیته جریان، فرض می‌شود که امکان تجزیه کرنش کل در یک جسم را به صورت حاصل جمع یا ضرب یک بخش الاستیک و یک بخش پلاستیک وجود دارد. بخش الاستیک کرنش از طریق مدل‌های الاستیک خطی یا هایپرالاستیک قابل محاسبه است. اگرچه، برای تعیین بخش پلاستیک کرنش باید از یک قانون جریان و یک مدل سخت‌شوندگی استفاده کرد.

تئوری تغییر شکل کوچک

منحنی تنش-کرنش زیر را در نظر بگیرید. در این منحنی، نمونه‌ای از رفتار پلاستیک معمول مواد تحت فشار نمایش داده شده است. کرنش در این منحنی را می‌توان به دو بخش کرنش الاستیک قابل بازگشت (ε_e) و کرنش غیر الاستیک (ε_p) تجزیه کرد. تنش در نقطه تسلیم اولیه، σ₀ است. برای موادی با خاصیت سخت‌شوندگی کرنش، با افزایش تغییر شکل پلاستیک، مقدار تنش تسلیم تا مقدار σ_y افزایش می‌یابد.

تئوری‌های پلاستیسیته معمول (برای تغییر شکل‌های کوچک با پلاستیسیته کامل یا پلاستیسیته سخت‌شوندگی)، بر اساس قواعد زیر توسعه یافته‌اند:

1. ماده دارای یک محدوده الاستیک خطی است (E).
2. ماده دارای یک حد الاستیک است (تنش σ₀ که در آن تغییر شکل پلاستیک شروع می‌شود).
3. پس از حد الاستیک، حالت تنش همیشه بر روی سطح تسلیم قرار خواهد داشت (σ=σ_y).
4. به حالتی که میزان افزایش تنش بیش‌تر از صفر باشد (dσ>0)، بارگذاری گفته می‌شود. در صورتی که بارگذاری باعث رسیدن حالت تنش به محدوده پلاستیک شود، افزایش کرنش پلاستیک همیشه بیشتر از صفر خواهد بود (dε_p>0).
5. به حالتی که افزایش میزان تنش کوچک‌تر از صفر باشد (dσ<0)، باربرداری گفته می‌شود. در حین باربرداری، ماده دارای رفتار الاستیک است و هیچ کرنش پلاستیکی درون آن رخ نمی‌دهد.
6. کرنش کل، یک ترکیب خطی از بخش‌های الاستیک و پلاستیک کرنش است (dε=dε_e+dε_p). بخش پلاستیک کرنش قابل بازگشت نیست؛ در صورتی که بخش الاستیک به طور کامل بازیابی می‌شود.
7. کار انجام شده در طی چرخه بارگذاری-باربرداری، مثبت یا صفر است (dσ*dε=dσ*(dε_e+dε_p)≥0). این قاعده با عنوان «اصل پایداری دراکر» (Drucker Stability Postulate) نیز شناخته می‌شود و احتمال وجود رفتار نرم شوندگی کرنش را حذف می‌کند.

قواعد بالا در فضای سه‌بعدی را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

• الاستیسیته (قانون هوک): در محیط‌های الاستیک خطی، رابطه بین تنش و کرنش ماده به صورت زیر است:

D: ماتریس سختی با مقدار ثابت است.

• حد الاستیک (سطح تسلیم): حد الاستیک توسط سطح تسلیمی تعریف می‌شود که به کرنش پلاستیک وابسته نیست. رابطه کلی حد الاستیک به صورت است:

• محدوده پس از حد الاستیک: برای سنگ‌هایی که دارای خاصیت سخت‌شوندگی کرنش هستند، سطح تسلیم با افزایش کرنش پلاستیک توسعه می‌یابد و محل حد الاستیک تغیر می‌کند. توسعه سطح تسلیم دارای فرم کلی زیر است:

• بارگذاری: تعمیم شرط dσ>0 به فضای سه‌بعدی، مخصوصاً برای خاصیت پلاستیسیته سنگ‌ها کار ساده‌ای نیست. پلاستیسیته سنگ‌ها، علاوه بر تنش انحرافی به تنش میانگین نیز وابسته خواهد بود. با این وجود، در حین بارگذاری f≥0 و فرض می‌شود که جهت‌گیری کرنش پلاستیک با بردار نرمال سطح تسلیم (f/∂σ∂) یکسان است و dε_p≥dσ. یعنی:

صفر بودن معادله بالا، حالت بارگذاری خنثی را نمایش می‌دهد. در این نوع بارگذاری، حالت تنش در امتداد سطح تسلیم حرکت می‌کند، بدون اینکه تغییری در کرنش پلاستیک ایجاد شود.

• باربرداری: مبحث باربرداری نیز مشابه بارگذاری است. در اینجا برای f<0، ماده در محدوده الاستیک قرار می‌گیرد و رابطه زیر برقرار است:

• تجزیه مؤلفه‌های کرنش: تجزیه مؤلفه‌های کرنش به حاصل جمع بخش‌های کرنش الاستیک و پلاستیک به صورت زیر نوشته می‌شود:

• اصل پایداری: اصل پایداری توسط رابطه زیر بیان می‌شود:

قانون جریان

در پلاستیسیته فلزات، فرض یکسان بودن جهات اصلی افزایش کرنش پلاستیک و تانسور تنش انحرافی توسط رابطه‌ای به نام «قانون جریان» (Flow Rule) نمایش داده می‌شود. تئوری‌های مرتبط با پلاستیسیته سنگ‌ها نیز از مفهوم مشابه ای بهره می‌گیرند. با این تفاوت که وابستگی سطح تسلیم به پارامتر فشار به یک «آسایش» (Relaxation) نیاز دارد. به جای این کار، معمولاً فرض می‌شود که افزایش کرنش پلاستیک و بردار نرمال سطح تسلیم وابسته به فشار، دارای جهت یکسانی هستند. به عبارت دیگر:

dλ>0، پارامتر سخت‌شوندگی را نشان می‌دهد. این فرم از قانون جریان با عنوان «قانون جریان همراه» (Associated Flow Rule) و فرض یکسان بود جهات با عنوان «شرط نرمال بودن» (Normality Condition) شناخته می‌شود. به تابع f، «تابع پتانسیل پلاستیک» (Plastic Potential Function) نیز می‌گویند.

قانون بالا برای تغییر شکل‌های کاملاً پلاستیک در شرایط dσ=0 و dε_p≥0 به سادگی تعمیم داده می‌شود. در این حالت، سطح تسلیم در هنگام افزایش تغییر شکل پلاستیک ثابت باقی می‌ماند. با توجه به قانون هوک، این موضوع بر صفر بودن میزان افزایش کرنش الاستیک (dε_e=0) دلالت خواهد داشت. بنابراین داریم:

و

از این‌رو، بردار نرمال سطح تسلیم و تانسور کرنش پلاستیک بر تانسور تنش عمود هستند و در نتیجه باید جهت یکسانی داشته باشند. برای موادی با خاصیت کرنش سخت‌شوندگی، امکان گسترش سطح تسلیم با افزایش تنش وجود دارد. بر اساس فرضیه دوم پایداری دراکر، برای یک چرخه تنش بسیار کوچک، کرنش تغییرات پلاستیک مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر:

کمیت بالا در چرخه‌های کاملاً الاستیک برابر با صفر است. به منظور تصدیق اعتبار قانون جریان همراه می‌توان کار انجام شده در طی یک چرخه بارگذاری-باربرداری پلاستیک را مورد ارزیابی قرار داد.

شرط سازگاری

«شرط سازگاری پراگر» (Prager Consistency Condition) به منظور بستن مجموعه معادلات مشخصه و حذف پارامتر مجهول dλ از دستگاه معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد. با توجه به این شرط، به دلیل f(σ,ε_p)=0 در نقطه تسلیم df=0 خواهد بود و به این ترتیب داریم:

تئوری تغییر شکل بزرگ

تئوری‌های پلاستیسیته مرتبط با تغییر شکل بزرگ معمولاً با یکی از فرضیات زیر شروع می‌شوند:

• تجزیه تانسور نرخ تغییر شکل به حاصل جمع دو بخش الاستیک و پلاستیک
• تجزیه گرادیان تغییر شکل به حاصل ضرب دو بخش الاستیک و پلاستیک

فرض اول، کاربرد گسترده‌ای در شبیه‌سازی‌های عددی فلزات داشت اما فرض دوم به مرور جای آن را گرفت.

سینماتیک پلاستیسیته در رویکرد ضرب مؤلفه‌ها

مفهوم تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل به دو بخش الاستیک و پلاستیک، برای اولین بار توسط «بی. اِی بیلی» (B. A. Bilby) و «اکهارت کرونر» (Ekkehart Kröner) برای پلاستیسیته بلورها ارائه شد و توسط «اراسموس لی» (Erasmus Lee) برای پلاستیسیته محیط‌های پیوسته تعمیم یافت. در این تجزیه فرض می‌شود که گرادیان تغییر شکل کل (F) را می‌توان به صورت حاصل ضرب زیر نوشت:

F_e: بخش الاستیک تغییر شکل (برگشت‌پذیر)؛ F_p: بخش پلاستیک تغییر شکل (برگشت‌ناپذیر)

گرادیان سرعت به صورت تعیین می‌شود:

اندیس نقطه (.) بر روی پارامترها، بیانگر مشتق نسبت زمان است. معادله بالا را می‌توان به شکل زیر نوشت:

که در آن:

به کمیت L_p، گرادیان سرعت پلاستیک شناخته می‌گویند. این کمیت، در یک پیکربندی واسط (ناسازگار) عاری از تنش تعریف می‌شود. بخش متقارن (D_p) در کمیت L_p، نرخ پلاستیک تغییر شکل و بخش پادمتقارن (W_p) در این کمیت، چرخش پلاستیک نام دارد.

معمولاً در اکثر تعاریف پلاستیسیته محدود از بخش چرخش پلاستیک صرف نظر می‌شود.

رفتار الاستیک

رفتار الاستیک در حالت کرنش محدود معمولاً توسط مدل رفتاری هایپرالاستیک بیان می‌شود. در این شرایط می‌توان کرنش الاستیک را با استفاده از یک تانسور تغییر شکل کوشی-گرین تعریف کرد:

به این ترتیب، رابطه تانسور کرنش لگاریتمی به صورت زیر نوشته می‌شود:

یکی از معیارهای رایج در پلاستیسیته محدود، «تانسور تنش ماندل» (Mandel Stress Tensor) است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

S، پارامتر تنش پیولا-کیرشهف مرتبه دوم است. رابطه زیر، یکی از مدل‌های هایپرالاستیک احتمالی با توجه به کرنش لگاریتمی را نشان می‌دهد:

W: تابع چگالی انرژی کرنشی؛ J: دترمینان گرادیان تغییر شکل؛ μ: مدول برشی؛ dev: بخش انحرافی تانسور

قانون جریان

در هنگام عدم حضور چرخش پلاستیک می‌توان از «نامساوی کلازیوس-دوهم» (Clausius-Duhem Inequality) برای تعیین قانون جریان کرنش محدود استفاده کرد:

شرایط بارگذاری-باربرداری

شرایط بارگذاری-باربرداری را می‌توان به صورت برابر با «شرایط کاروش-کون-تاکر» (Karush-Kuhn-Tucker Conditions) نمایش داد:

شرط سازگاری

شرط سازگاری در تغییر شکل بزرگ همانند شرط سازگاری در کرنش کوچک است:

در ترمودینامیک، آنتالپی به معنای انرژی کل سیستم است. این عدد نشان دهنده کمیتی مقداری است که انرژی حرارتی کل یک سیستم را نشان می‌دهد. برای سیستمی با حجم V و فشار P، آنتالپی برابر با مجموع انرژی درونی سیستم و حاصلضرب فشار در حجم آن است. در بسیاری از تحلیل‌های ترمودینامیکی، حاصلضرب فشار p در حجم v ظاهر می‌شود؛ به این خاطر است که این خاصیت را به صورت مجزا در نظر می‌گیرند.

معمولا در سیستم‌های شیمیایی، بیولوژیکی و یا فیزیکی، آنتالپی را به عنوان خاصیتی می‌بینند که در فرآیندی فشار ثابت اندازه‌گیری می‌شود. در جداول ترمودینامیکی در کنار فشار، دما و دیگر خواص، مقدار آنتالپی نیز ذکر می‌شود.

در فرآیندی که به صورت فشار ثابت اتفاق می‌افتد می‌توان مجموع انتقال حرارت و کار صورت گرفته با محیط را برابر با تغییرات آنتالپی سیستم دانست.

آنتالپی چه نوع کمیتی است؟

آنتالپی به عنوان کمیتی مقداری شناخته می‌شود. این جمله به معنی آن است که آنتالپی به مقدار ماده موجود در یک سیستم وابسته است. همانند انرژی، واحد آنتالپی نیز ژول است. در حقیقت اگر انرژی‌های جنبشی و پتانسیل یک سیستم را از انرژی کل کم کنیم، مقدار باقی مانده انرژی حرارتی سیستم است که همان آنتالپی نامیده می‌شود.

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد،‌ کمیت آنتالپی را با حرف H نمایش می‌دهند؛ بنابراین تغییرات آنتالپی یک سیستم برابر با H₂-H₁ است. البته از نظر ریاضیاتی، آنتالپی را می‌توان به شکل‌های مختلفی نشان داد؛ مرسوم‌ترین روش محاسبه آنتالپی به صورت زیر است.

در رابطه بالا C_p ظرفیت حرارتی در فشار ثابت و α ضریب انبساط حرارتی در فشار ثابت است. با توجه به این‌که در گاز ایده‌آل حاصلضرب αT برابر با یک است، بنابراین رابطه بالا را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

برای درک بهتر مفهوم آنتالپی توجه شما را به مثال زیر جلب می‌کنیم.

مثال 1: پیستون بدون اصطکاک

مطابق شکل زیر سیستم سیلندر پیستونی، بدون اصطکاک را فرض کنید که حاوی بخاری با فشار ثابت 500 کیلوپاسکال است. با فرض اینکه در حالت اولیه، حجم و دمای سیلندر به ترتیب برابر با 2m³ و 500 کلوین باشد. دمای نهایی سیستم را پس از انتقال انرژی 3000 کیلوژول به آن، به دست آورید.

در ابتدا بایستی آنتالپی ویژه سیستم را در فشار 500 کیلوپاسکال و دمای 500 کلوین تعیین کنید. آنتالپی ویژه در این دما و فشار برابر با $2912kJ/kg$

بدست می‌آید [این مقدار از جدول حالت‌های ترمودینامیکی مواد خوانده می‌شود]. از آنجایی که چگالی بخار در این دما و فشار برابر با $2.2kg/m^3$

است، با ضرب کردن آن در حجم V مقدار جرم بخار موجود در سیلندر برابر با 4.4 کیلوگرم بدست می‌آید. با بدست آمدن جرم موجود در سیلندر، می‌توان با ضرب کردن آن در آنتالپی ویژه، آنتالپی مطلق سیستم را نیز در این دما و فشار بدست آورد. بنابراین آنتالپی مطلق برابر است با:

با استفاده از معادله Q = H₂ − H₁ می‌توان آنتالپی نهایی سیستم را به شکل زیر بدست آورد.

با بدست آمدن آنتالپی بخار پس از انتقال انرژی، به جدول مربوط به خواص ترمودینامیکی مراجعه می‌کنیم و دمای معادل با این آنتالپی را از جدول می‌خوانیم. با انجام این کار دمای بخار در حالت نهایی برابر با $555k$

بدست می‌آید.

برای چالش بیشتر می‌توانیم کار انجام داده شده توسط سیستم را نیز محاسبه کنیم. برای این کار در ابتدا بایستی حجم سیلندر را پس از انتقال انرژی محاسبه کنیم. در بالا گفتیم که بخار موجود در سینلدر را به صورت گاز ایده‌آل فرض کرده‌ایم. هم‌چنین با توجه به این‌که فشار سیلندر در حالت اولیه و نهایی با یکدیگر برابر هستند، بنابراین نسبت تغییرات T و V نیز با یکدیگر برابر خواهند بود. در نتیجه می‌توان نوشت:

با استفاده از رابطه بالا می‌توان حجم ثانویه را به صورت زیر محاسبه کرد.

با بدست آمدن حجم ثانویه، میزان افزایش حجم سیلندر را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

در بالا بیان کردیم که میزان کار انجام شده در فشار ثابت و برای یک گاز، برابر با حاصلضرب تغییرات حجم در فشار گاز است. در نتیجه میزان کار انجام شده در این مثال برابر است با:

مفهوم آنتالپی ویژه

می‌توان با تقسیم مقدار آنتالپی کل یک سیستم به جرم آن، مفهومی تحت عنوان آنتالپی ویژه تعریف کرد. در مبحث آنتروپی نیز مفهومی مشابه را تحت عنوان آنتروپی ویژه تعریف کردیم. در حقیقت این مفهوم، به نسبت خود آنتالپی در ترمودینامیک کاربردی بیشتر دارد.

آنتالپی ویژه h را می‌توان بر حسب آنتالپی کل H به صورت زیر تعریف کرد.

در معادله بالا h ,H ,m به ترتیب جرم، آنتالپی کل و آنتالپی ویژه سیستم هستند. توجه داشته باشید که آنتالپی کمیتی شدتی است که انرژی حرارتی یک سیستم را نشان می‌دهد. این در حالی است که آنتالپی ویژه یک سیستم برابر با حاصل جمع انرژی داخلی ویژه یک سیستم و حاصلضرب فشار در حجم است. از این رو فرمول عمومی آنتالپی ویژه به شکل زیر است.

در حالت کلی همچون فشار یا دما، آنتالپی نیز خاصیتی از سیستم است؛ اما تفاوت این خاصیت این است که نمی‌توان آن را به صورت مستقیم اندازه گرفت. معمولا آنتالپی یک سیستم را با استفاده از مقداری مرجع تعریف و اندازه‌گیری می‌کنند. برای نمونه آنتالپی آب یا بخار را نسبت به آنتالپی آب در دمای 0.01 درجه و فشار اتمسفر اندازه‌گیری می‌کنند. در حقیقت در این دما و فشار، آنتالپی آب را برابر با صفر در نظر می‌گیرند.

آنتالپی در واکنش‌های شیمیایی

از مفاهیم آنتالپی به شکل گسترده‌ای در شیمی نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولا فرآیند‌های شیمیایی را از دیدگاه قانون اول و دوم ترمودینامیک بیان می‌کنند. در ترمودینامیک به مجموع انرژی‌های سیستم به جز پتانسیل و جنبشی، «انرژی درونی» (Internal Energy) گفته می‌شود. هم‌چنین آنتالپی یک واکنش شیمیایی برابر با تغییر آنتالپی هریک از اجزای تشکیل‌ دهنده فرآیند است.

از آنجایی که اکثر واکنش‌های شیمیایی به صورت فشار ثابت رخ می‌دهند، بنابراین می‌توان مفهوم تغییر آنتالپی را در یک واکنش نیز تعریف کرد. معمولا این تغییر را تحت عنوان «آنتالپی واکنش» (Reaction Enthalpy) می‌شناسند. آنتالپی یک واکنش، بسته به نوع آن می‌تواند مثبت، منفی و یا صفر باشد. مثبت یا منفی بودن آنتالپی واکنش به گرماده یا گرماگیر بودن آن وابسته است.

آنتالپی تبخیر

در حالت کلی زمانی که در فرآیندی، یک ماده دچار تغییر فاز می‌شود، بخشی از انرژی سیستم صرف تغییر فاز مذکور می‌شود. برای نمونه ظرفی را حاوی مقداری آب تصور کنید که در حال حرارت دادن به آن هستیم. بدیهی است که در این فرآیند دمای آب درون ظرف افزایش می‌یابد. پس از گذشت زمانی، آب موجود در ظرف شروع به بخار شدن می‌کند. با اندازه‌گیری متوجه می‌شویم که دمای آب در این حالت ثابت است.

بنابراین با ثابت بودن دما، این سوال مطرح می‌شود که انرژی حرارتی اضافه شده به سیستم صرف چه چیزی می‌شود؟ پاسخ این است که حرارت اضافه شده به آن، صرف تغییر فاز آب می‌شود. در این حالت انرژی اضافه شده به سیستم را «آنتالپی تبخیر» می‌نامند. به این‌گونه انرژی‌ها «نهان» نیز گفته می‌شود.

برای نمونه گرمای نهانِ تبخیر آب در فشار 0.1 مگاپاسکال برابر با مقدار زیر است:

همین‌ مقدار در فشار 3 مگاپاسکال برابر است با:

گرمای تبخیر عبارت است از میزان گرمایی که به منظور تبخیر شدن کاملِ مایع نیاز است. این مقدار را می‌توان با استفاده از فرمول زیر توصیف کرد.

جالب است که با افزایش فشار سیال، مقدار گرمای نهان تبخیر آن کم می‌شود. نمودار زیر آنتالپی آب در دماها و فشار‌های مختلف را نشان می‌دهد.

برای دیگر تغییر فاز‌ها نیز می‌توان از این مفهوم استفاده کرد. برای نمونه به میزان انرژی مورد نیاز جهت ذوب کردن یک جرم، گرمای نهان ذوب ماده مذکور گفته می‌شود که می‌توان آن را با استفاده از فرمول زیر توصیف کرد.

امیدواریم مفهوم آنتالپی را به خوبی درک کرده باشید چرا که در آینده و در مطلب حالت‌های ترمودینامیکی مواد از آن استفاده خواهیم کرد. البته به‌منظور درک عمیق‌تر، بایستی مثال‌های بیشتری از این مفهوم حل کنید.

انتگرال‌گیریِ جزء به جزء از روش‌هایی است که در محاسبه انتگرال توابعی که در یکدیگر ضرب شده‌اند، بسیار کاربرد دارد. در این مطلب در ابتدا فرمول انتگرال‌گیری جزء به جزء را بیان می‌کنیم. فارغ از این‌ که این فرمول برای شما گیج‌کننده باشد یا نه، باید بگوییم پس از حل چندین مثال که در ادامه آن آمده، حتماً این مفهوم را به خوبی هضم خواهید کرد.

محاسبه انتگرال به روش جزء به جزء

دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. تصور کنید می‌خواهیم انتگرال تابع (u‘(x)v(x را بدست آوریم. انتگرال این تابع را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.

اجازه دهید هم‌چون فیلم‌های سینمایی به عقب برگردیم و داستان به‌دست آمدن این فرمول‌ را روایت کنیم. برای این منظور دو تابع (u(x و (v(x را فرض کنید. از مطلب ارائه شده در مورد مشتق می‌دانیم که مشتق تابع (u(x)v(x برابر با عبارت زیر است.

عبارتِ دومِ سمتِ راستِ معادله بالا را به سمت چپ منتقل می‌کنیم؛ با انجام این کار رابطه بالا به شکل زیر قابل بازنویسی است.

حال از طرفین این رابطه انتگرال می‌گیریم. همان‌طور که می‌دانیم، انتگرالِ مشتقِ یک تابع، برابر با خود تابع است. بنابراین می‌توان نوشت:

در نتیجه با انتگرال‌گیری از رابطه بالا به فرمول نهایی ارائه شده می‌رسیم.

بنابراین می‌توان گفت:

رابطه (*)

البته فرمول بالا را می‌توان با روشی آسان‌تر و به صورت زیر پیاده کرد.

رابطه (**)

بنابراین به منظور محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء در ابتدا بایستی توابع f و g را به نحوی انتخاب کرد که انتگرال توابع f و g‘f قابل محاسبه باشند. سپس با جایگذاری این مقادیر در معادله بالا به راحتی انتگرال تابع fg بدست می‌آید.

مثال‌ها

شاید در ابتدا فرمول بالا کمی مشکل به نظر برسد. از این رو به شما پیشنهاد می‌کنیم تا مثال‌های زیر را مطالعه فرمایید. به یاد داشته باشید که مهم‌ترین قدم در محاسبه یک انتگرال، انتخاب مناسب توابع f و g هستند. برای نمونه فرض کنید بخشی از تابع زیر انتگرال از عبارت $\frac{sin\left(x\right)}{x}$

تشکیل شده. واضح است که اگر شما این تابع را به عنوان f در نظر بگیرید، دیگر امکان محاسبه F (که همان انتگرال f است) وجود نخواهد داشت.

مثال 1

حاصل انتگرال xe^x را بیابید.

فرض کنید می‌خواهیم با استفاده از رابطه ** این انتگرال را حل کنیم. با فرض کردن دو تابع x و e^x به عنوان g و f می‌توان نوشت:

مثال 3

پاسخ انتگرال تابع (xcos(x را با استفاده از روش جزء به جزء بدست آورید.

توجه داشته باشید که همواره f و g را به شکلی در نظر بگیرید، که امکان محاسبه انتگرال تابع g‘f وجود داشته باشد. البته تابع f را نیز بایستی به نحوی در نظر گرفت که بتوانیم انتگرال آن را محاسبه کنیم. در این مثال x و (cos(x را به ترتیب برابر با g و f در نظر می‌گیریم. از این رو با جایگذاری این دو تابع در فرمول ** داریم:

می‌توان در حالت کلی گفت که تابع ساده‌تر را بایستی به عنوان g در نظر گرفت. برای نمونه در این مثال x را به عنوان تابع g در نظر گرفته‌ایم. مثال 4 به درک بهتر انتخاب f و g کمک می‌کند.

مثال 4

حاصل عبارت $\int x\ln \left(x\right)dx,$

را بیابید.

در این مثال به نظر می‌رسد که اگر x را به عنوان f در نظر بگیریم، F که همان انتگرال f است، راحت‌تر محاسبه شده و انتگرال تابع g‘f را نیز می‌توان راحت‌تر یافت. از این رو x را برابر با f و (ln(x را برابر با g فرض می‌کنیم. بنابراین با توجه به فرض صورت گرفته می‌توان نوشت:

توجه داشته باشید که در بعضی از موارد ممکن است نیاز باشد با دو بار استفاده از روش جزء به جزء، حاصل انتگرال را بدست آورد. در مثال 5 نمونه‌ای از چنین مثالی آورده شده است.

مثال 5

پاسخ $\int x^2\sin \left(x\right)dx$

را بدست آورید.

همان‌طور که کمی بالاتر بیان کردیم، معمولا در محاسبه یک انتگرال به روش جزء به جزء بهتر است که تابع ساده‌تر را به عنوان g در نظر بگیریم. در نتیجه در این مثال تابع g را برابر با x² در نظر می‌گیریم؛ بنابراین (sin(x نیز معادل با f است. همانند مثال‌های قبلی با استفاده از فرمول ** داریم:

همان‌طور که می‌بینید برای محاسبه پاسخ این مثال به عبارت $\int x\cos \left(x\right)dx$

می‌رسیم. پاسخ این عبارت در مثال 3 محاسبه شد. از این رو با جایگذاری پاسخ مثال 3 در رابطه بالا، جواب نهایی به صورت زیر یافت می‌شود.

شاید با خود فکر کرده باشید که چرا به جای 2c از c استفاده کرده‌ایم. باید توجه داشته باشید که مشتق یک عدد ثابت همواره صفر است بنابراین هر مقدار ثابتی به جای c قرار گیرد، صحیح است.

حال وقت آن رسیده تا کمی خود را محک بزنید. مثال پیش‌رو اندکی دشوار‌تر از مثال‌های قبلی است.

مثال 6

انتگرال تابع $x\sqrt{x+1}$

را بیابید.

همان‌طور که بیان شد، در ابتدا تابع ساده‌تر را برابر با g در نظر بگیرید و چک کنید که آیا با این فرض، مسئله قابل حل است؟ بنابراین در این مثال تابع g را برابر با x و تابع f را برابر با $\sqrt{x+1}$

در نظر می‌گیریم. در بالا بیان کردیم که F همان انتگرال تابع f است. با توجه به مفاهیم ارائه شده در مطلب روش‌های محاسبه انتگرال، قانون توان در محاسبه یک انتگرال را به صورت زیر بیان کردیم:

با استفاده از قانون توان، انتگرال تابع ${(x+1)}^{1/2}$

،‌ به شکل زیر محاسبه می‌شود.

حال با بدست آمدن F می‌توان از فرمول ** به شکل زیر استفاده کرد.

مسلط شدن به این روش منوط به حل مثال است. در این روش نکته مهم انتخاب توابع f و g مناسب است.

در مطلب جریان‌ تراکم‌پذیر عددی بی‌بعد تحت عنوان ماخ را معرفی کردیم. در بخش مذکور نشان دادیم که رابطه‌ای میان تراکم‌پذیری سیالِ در حال حرکت و عدد ماخ وجود دارد. در حقیقت در بخش‌های مختلفی از علوم، خصوصا فیزیک کلاسیک از اعدادی بی‌بعد استفاده می‌شود که می‌توان با استفاده از آن‌ها پدیده را توصیف کرد. در این مطلب قصد داریم تا  عددی بی‌بعد تحت عنوان «رینولدز» (Reynolds) را معرفی کنیم.

رینولدز عددی بی‌بعد در مکانیک سیالات است که الگوی جریان در حال حرکت را توصیف می‌کند. رینولدزِ اندک نشان‌دهنده جریان لایه‌ای و رینولدز بالا جریان «توربولانس» (Turbulence) را نشان می‌دهد. مفهوم کم و زیاد بودن عدد رینولدز را در ادامه بیان خواهیم کرد.

تعریف

عدد رینولدز نشان دهنده نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ویسکوز است که به دلیل حرکت سیال به وجود می‌آیند. از آنجایی که توربولانس و یا لایه‌ای بودن جریان وابسته به این نیرو‌ها است، از این رو با استفاده از عدد رینولدز می‌توان رژیم (لایه‌ای یا توربولانس بودن) یک جریان را تعیین کرد. اگر در یک سیال در حال حرکت، نیروهای اینرسی غالب باشند، به احتمال زیاد جریان مد نظر توربولانسی است. عکس این مورد، اگر نیروهای لزجت در یک سیال غالب باشند، سیال به صورت لایه‌ای حرکت می‌کند. با توجه به مفاهیم عنوان شده در بالا عدد رینولدز (Re) را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد.

برای نمونه مطابق با شکل زیر لیوان آبی را در نظر بگیرید که به صورت ساکن قرار گرفته است. به این سیستم فقط نیروی گرانش وارد می‌شود. بنابراین صورت کسر رابطه بالا صفر است. در حالتی دیگر تصور کنید که لیوان را خالی کنیم. در این حالت با توجه به این‌که سیال در حال حرکت است، از این رو ذرات آن دارای تکانه هستند. در نتیجه نیرویی اینرسی در سیستم وجود دارد که منجر به غیرصفر شدن رینولدز می‌شود.

تاریخچه

نظریه استفاده از عدد بی‌بعد به‌منظور رصد کردن الگوی جریان، برای اولین بار توسط «جرج استوکس» (Sir George Stokes)، دانشمند ایرلندی ارائه شد. او در آزمایشی که می‌خواست نیروی درگ  را حول یک کره اندازه‌گیری کند، به این نتیجه رسید که با استفاده از عددی بی‌بعد می‌توان الگوی جریان عبوری روی آن را تعیین کرد. او با استفاده از مطالعاتی که توسط «ناویر» (Navier) انجام شده بود و با اضافه کردن عبارت‌های مرتبط با نیروی ویسکوز، توانست به معادلاتی برسد که انقلابی در فیزیک کلاسیک محسوب می‌شود.

در سال 1883، رینولدز،‌ دانشمند ایرلندی عددی بی‌بعد را معرفی کرد که می‌توانست الگوی جریان را معلوم کند. او متوجه شد که این عدد به خواص استاتیکی و دینامیکی سیال، هم‌چون سرعت، چگالی، ویسکوزیته دینامیکی و … وابسته است. بنابراین آزمایشاتی را به‌منظور فهمیدن دقیق این رابطه انجام داد. برای این منظور سیستمی را مطابق با شکل زیر طراحی کرد. این سیستم به این صورت بود که لوله‌ای نازک که حاوی سیالی رنگی بود در یک لوله اصلی محتوی آب، قرار داده شد. سپس سیال رنگی درون آب به جریان در می‌آمد. بنابراین امکان دیدن حرکت سیال فرآهم می‌شد.

با توجه به آزمایش انجام شده، او توانست عددی بی‌بعد را تعریف کند که الگوی جریان وابسته به آن است.

استخراج عدد رینولدز

همان‌گونه که در بالا نیز بیان شد، با استفاده از این عدد می‌توان تعیین کرد که جریان با توجه به چه الگویی حرکت می‌کند. از آنجایی که این عدد نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای برشی را نشان می‌دهند، بنابراین می‌توان گفت:

عبارت‌های استفاده شده در بالا به ترتیب زیر هستند:

• (ρ (kg/m³: چگالی سیال
• (V (m/s: سرعت سیال
• (L (m: طول مشخصه سیال
• (ν (m²/s: ویسکوزیته سینماتیکی سیال

همان‌طور که مشاهده می‌کنید با جایگذاری واحد‌های اجزا تشکیل دهنده عدد رینولدز، می‌بینید که این عدد، بی‌بعد است. البته در به دست آوردن رینولدز یک جریان می‌توان به جای ویسکوزیته سینماتیکی، با استفاده از تبدیل زیر از ویسکوزیته دینامیکی نیز بهره برد.

$$\nu =\frac{\mu }{\rho }$$

سیال، جریان و عدد رینولدز

روش محاسبه رینولدز با توجه به تراکم‌پذیر بودن سیال، تغییر پذیری ویسکوزیته (سیال غیرنیوتونی)، داخلی و یا خارجی بودن جریان متفاوت است. رینولدز بحرانی عددی است که در آن جریانِ سیال شروع به توربولانس شدن می‌کند. این مقدار در حالت‌های مختلفِ جریان، متفاوت است. به عنوان مثال برای جریانی که در لوله حرکت می‌کند، رینولدز بحرانیش برابر با 2300 است؛ یا این‌که برای حالتی که سیالی روی یک سطح تخت جریان دارد، مقدار رینولدز بحرانی بین 10⁵ تا 10⁶ است.

عدد رینولدز هم‌چنین می‌تواند توصیف دقیقی را از لزجت ارائه دهد. از این رو درک حالت سیال در هر لحظه بسیار مهم است. منظور از جمله قبل، این است که بدانیم جریان را به چه صورت بایستی فرض کرد. برای نمونه بدانیم که جریان داخلی، خارجی، گذرا و یا تراکم پذیر است؟ در هر یک از حالات ذکر شده مفهوم و حتی محاسبه عدد رینولدز معنای خاص خود را دارد. در ادامه به بررسی این عدد در سیالات نیوتنی می‌پردازیم. به سیالاتی نیوتنی گفته می‌شود که در آن‌ها رابطه میان تنش برشی و گرادیان سرعت به صورت خطی است. هم‌چنین در این سیالات ویسکوزیته ثابت است و تنها تابعی از دمای سیال است.

محاسبه رینولدز در حالت‌های مختلف

در حالت کلی رژیم جریان به دو دسته تقسیم‌بندی می‌شود: «لایه‌ای» (Laminar) و «توربولانس» (Turbulent). البته اگر بخواهیم درست‌تر بیان کنیم، حالت سومی نیز وجود دارد که به آن گذرا گفته می‌شود. این حالت زمانی اتفاق می‌افتد که بخشی از جریان به صورت لایه‌ای و بخشی دیگر به صورت توربولانس است.

جریان داخلی

به جریانی که درون لوله حرکت می‌کند، جریان داخلی می‌گویند. رینولدز‌های بحرانی برای چنین جریانی در جدول زیر بیان شده‌اند.

در حالتی که جریانی در یک کانال بسته و یا در لوله حرکت می‌کند، عدد رینولدز وابسته به قطر هیدرولیکی لوله (D_H) و طول آن (L) است. هم‌چنین در حالتی که لوله به صورت استوانه‌ای باشد، قطر هیدرولیکی آن در واقع همان قطر لوله است. بنابراین در این حالت عدد رینولدز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

در حالتی که مقطع لوله به صورت دایره‌ای نباشد، می‌توان با استفاده از رابطه زیر قطر هیدرولیکی لوله را محاسبه کرد.

در معادله بالا A برابر با مساحت سطح مقطع لوله و P محیط تر شده است. در شکل‌های زیر قطر هیدرولیکی برای چند مقطع مختلف آورده شده‌اند.

از دیگر عواملی که در توربولانس شدن جریان درون لوله موثر است، میزان اصطکاک سطح لوله با جریان خواهد بود. «نمودار مودی» (Moody Chart) میزان توربولانسی جریان را بر حسب عدد رینولدز و زبری سطحِ لوله، نشان می‌دهد. این نمودار روشی عملی به منظور محاسبه افت فشارِ جریان سیالی است که درون لوله حرکت می‌کند. اگر توجه داشته باشید در نمودار زیر ناحیه‌های توربولانس و لایه‌ای بر حسب ضریب اصطکاک و رینولدز جریان نشان داده شده‌اند.

جریان خارجی

به جریانی که روی اجسام به حرکت در می‌آید، جریان خارجی گفته می‌شود. برای نمونه جریان روی یک صفحه تخت، جریان روی کره یا سیلندر همگی از نوع جریان‌های خارجی هستند. در سال 1914 «لودویگ پرانتل» (Ludwig Prandtl)، دانشمند آلمانی مفهوم لایه‌مرزی را ارائه کرد. او دریافت که لایه‌مرزی به رینولدز و شکل سطح وابسته است. در شکل زیر جریانی را روی سطحی تخت نشان می‌دهد. در نقطه x_c جریان شروع به توربولانس شدن می‌کند.

شکل زیر جریان خارجی را روی یک ایرفویل نشان می‌دهد. همان‌طور که می‌بینید این جریان در ابتدا لایه‌ای سپس گذرا و نهایتا به یک جریان توربولانس تبدیل شده است. دلیل این امر متفاوت بودن عدد رینولدز در هر کدام از این نقاط است.

در حالت کلی با حرکت جریان رو به جلو، سیال منبسط و البته ناپایدارتر می‌شود. این ناپایداری منجر به افزایش رینولدز شده و نهایتا توربولانس شدن جریان را در پی دارد. رینولدز بحرانی برای جریان روی سطح بایستی بیشتر از مقدار زیر باشد.

رینولدزهای بالا و پایین

در روش‌های عددی حل شده برای معادله ناویر-استوکس، عدد رینولدز نیز ظاهر می‌شود. شکل ساده شده معادله ناویر-استوکس که تحت عنوان معادله اویلر شناخته می‌شود، به صورت زیر است.

در معادله بالا ρ برابر با چگالی و u و p به ترتیب برابر با سرعت و فشار هستند؛ همچنین e نشان دهنده انرژی داخلی ویژه سیال است. توجه داشته باشید که اثرات لزجت در مدل‌سازی سیال بسیار مهم هستند. با این وجود در بعضی از موارد می‌توان از مدل سیال غیرلزج به‌منظور شبیه‌سازی سیال بهره برد. برای نمونه در حالت جریان خارجی با سرعت بالا، می‌توان معمولا از مدل سیال غیرلزج بهره برد.

از طرفی زمانی که Re?1 (بسیار بسیار کم‌تر از 1) باشد، اثرات اینرسی را می‌توان در معادله ناویر-استوکس حذف کرد. به ورژنی از معادله ناویر-استوکس که در رینلدز پایین نوشته می‌شود، جریان استوکس گفته می‌شود. بنابراین در حالتی که رینولدز جریان کم باشد،‌ معادله ناویر-استوکس به شکل زیر در می‌آید.

در معادله بالا u سرعت سیال، p∇ گرادیان فشار و μ لزجت سیال را نشان می‌دهند. از جریان استوکس می‌توان به منظور مدل‌سازی جریان ماگمای آتشفشانی، حرکت میکرو ارگانیز‌م‌ها و یا جریان پلمیر استفاده کرد.

کاربردهای عدد رینولدز

 تحلیل عددی جریان سیال، مبتنی بر مدل‌های ریاضیاتی ارائه شده است. شکل بی‌بعد شده این معادلات، اعداد بی‌بعد را نیز در دل خود خواهند داشت. این مدل‌ها با استفاده از آزمایش و قوانین بدست آمده‌اند. به‌منظور تحلیل عددی یک پدیده سیالاتی بایستی مدل ریاضیاتی را به نحوی انتخاب کرد که قابلیت مدل‌سازی دامنه حل را داشته باشد. در تمامی این مدل‌ سازی‌ها عدد رینولدز نقش به‌سزایی را در معادلات ایفا می‌کند. برای نمونه حرکت گلیسیرین را در لوله‌ای با مقطع دایره‌ای در نظر بگیرید. با فرض این‌که خواص سیال را داشته باشیم، می‌توان رژیم آن را به شکل زیر تعیین کرد.

در اولین قدم بایستی خواص سیال مفروض را داشته باشیم. جدول زیر این خاصیت‌ها را نشان می‌دهد.

قدم بعدی، محاسبه رینولدز به شکل زیر است.

عدد بدست آمده کمتر از 2300 است، از این رو می‌توان این جریان را به صورت لایه‌ای در نظر گرفت.

این عدد مفهومی عمومی در مکانیک سیالات است که در بسیاری از مباحث مرتبط با حرکت سیال ظاهر خواهد شد.

ه‌منظور درک نیروی آیرودینامیکی تصور کنید که در حال رانندگی هستید و دست چپتان را بیرون از پنجره خودرو قرار داده‌اید. بدیهی است که در این حالت جریان هوا را حس می‌کنید که دستتان را به عقب هل می‌دهد. در حقیقت مولکول‌های هوا به دست شما و در خلاف جهت مسیر حرکت خودرو نیرو وارد می‌کنند. به این نیرو، «درگ» (Drag) – یا پسا – گفته می‌شود.

معمولا در سیستم‌های آیرودینامیکی با این نوع از نیرو برخورد می‌کنیم. در حالت کلی نمی‌توان گفت که وجود داشتن چنین نیرویی بد خواهد بود، اما معمولا عاملی در بازدارندگی اجسام است.

در فیزیک و در محاسبات آیرودینامیکی این نیرو را با نماد D نشان می‌دهند. برای محاسبه نیروی درگ وارد بر جسمی که در سیالی در حال حرکت است، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد.

در معادله بالا C برابر با «ضریب درگ» (Drag Coefficient) است که وابسته به سرعت حرکت جسم در سیال است. به‌طور کلی ضریب درگ به شکل هندسی سطح و ویژگی‌های فیزیکی سیال همچون لزجت و چگالی وابسته است. معمولا ضریب C بین 0.4 تا 1 قرار دارد. در معادله بالا ρ برابر با چگالی سیال است. از طرفی ν برابر با سرعت نسبی جسم نسبت به سیال است.

بسیار مهم است که بدانید عدد A برابر با تصویر سطح مقطع در راستای عمود بر جریان است. در شکل زیر مفهوم A به تصویر کشیده شده.

سقوط آزاد

مسئله سقوط آزاد با نیروی درگ در ارتباط است. طبق فرمول بیان شده در بالا، نیروی درگ با افزایش سرعت جسم بایستی زیاد شود. این حقیقت را می‌توان هنگامی مشاهده کرد که چترباز‌ها از هواپیما به بیرون می‌پرند. پس از پرش مراحل زیر اتفاق می‌افتد.

1. افزایش سرعت شخص به‌دلیل وارد شدن نیروی گرانش به او
2. زیاد شدن نیروی درگ به دلیل افزایش سرعت چترباز
3. برابری نیروی درگ و گرانش و در نتیجه ثابت ماندن سرعت سقوط

به راحتی می‌توان درک کرد که چرا با بیشتر بودن وزن از نیروی درگ، سرعت جسم زیاد می‌شود. قانون دوم نیوتن را در این حالت می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

W-D=ma

در معادله بالا W ،a ،m و D  به ترتیب برابر با جرم، شتاب، وزن و درگ هستند.

در شکل زیر دو نیروی گرانش و درگِ وارد شده به یک چترباز نشان داده شده.

مثال 1

فرض کنید چتربازی به جرم m از هواپیمایی به بیرون می‌پرد. با فرض این‌که ضریب درگ وارد شده به او برابر با C باشد، بیشترین سرعت سقوط شخص، چقدر است؟

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، با برابر شدن نیرو‌های درگ و وزن، شتابی به شخص وارد نشده و سرعت او ثابت می‌ماند. بنابراین در مدت زمانی پس از سقوط و پس از برابر شدن دو نیرو، می‌توان نوشت:

W=mg=D

با جایگذاری معادله مربوط به نیروی درگ در رابطه بالا داریم:

در رابطه بالا v_t برابر با سرعت حدی جسم در زمان سقوط است. با حل این معادله، سرعت مجهول v_t بدست می‌آید.

برای مثال تصور کنید وزن چتربازی 70 کلیوگرم است. با فرض این‌که ضریب درگ وارد شده به او برابر با 0.4 باشد، بیش‌ترین سرعت شخص پس از خارج شدن از هواپیما چقدر است؟ سطح مقطع بدن او که در معرض جریان هوا قرار می‌گیرد، برابر با 1.11 متر مربع در نظر بگیرید.

این سرعت معادل با 200 کیلومتر در ساعت است.

مثال بالا نمونه‌ای بسیار ساده از محاسبه و استفاده نیروی درگ در مسائل فیزیکی است؛ اما واقعیت این است که این ضریب در حالت کلی متغیر است و معمولا مقدار آن را در شرایط مختلف، در آزمایشگاه اندازه‌گیری می‌کنند. در ادامه ضریب درگ چند شکل مختلف بیان شده.

همان‌طور که در بالا نشان داده شده، ضریب درگ برای پوسته‌ای به شکل نیم‌کره برابر با 1.4 است. در مثال زیر از این ضریب استفاده می‌کنیم.

مثال 2

در مثال 1، شخص پس از 15 دقیقه سقوط، تصمیم می‌گیرد تا چتر خود را باز کند. با فرض این‌ که مساحت چتر او برابر با 200 متر مربع باشد، چترباز با چه سرعتی به زمین می‌رسد؟

در بالا توضیح دادیم که پس از مدتی سقوط نیروی وزن و درگ وارد به شخص با هم برابر شده و سرعت او را ثابت نگه می‌دارد. پس از باز شدن چتر، ضریب درگ افزایش یافته و نیروی بیشتری رو به بالا، به شخص وارد می‌شود. بنابراین چترباز با سرعتی بسیار اندک به زمین می‌رسد. می‌توان گفت این مثال از مواردی است که از نیروی درگ استفاده مفید می‌شود.

چتر مفروض را می‌توان تقریبا به عنوان پوسته‌ای نیم‌کره‌ای شکل تصور کرد. با داشتن مساحت، ضریب درگ و وزن شخص، سرعت او را در لحظه برخورد با زمین می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

در ادامه مراحل رخ داده در مثال 1 و 2، در قالب انیمیشن نشان داده شده. همان‌طور که می‌بینید با برابر شدن نیروهای درگ و وزن، شتاب شخص صفر شده بنابراین سرعتش زیادتر نخواهد شد.

عوامل ایجاد درگ

در حالت کلی نیروی درگ را می‌توان به دو بخش فشاری و برشی تقسیم‌بندی کرد. در حقیقت برای هر جسمی که در جریان قرار می‌گیرد، این دو مقدار به صورت جدا محاسبه شده و مجموع تاثیرات آن‌ها را به عنوان درگ کلی جسم در نظر می‌گیرند.

درگ ناشی از فشار

بخش عمده‌ای از درگ، فشار وارد شده به جسمی است که در سیالی غوطه‌ور حرکت می‌کند. به طور دقیق‌تر زمانی که جریانی از سیال روی جسمی عبور کند، در بخشی از مسیر، مولکول‌های سیال متراکم‌تر و در بخشی دیگر رقیق‌تر هستند. از این رو نیروهای وارد شده به بخش‌های مختلف یک جسم متفاوت بوده و در نتیجه برآیند کلی نیروهای ناشی از فشار مولکول‌های هوا نیز متفاوت خواهد بود.

در اَشکال بالا درگ ناشی از فشار روی دیسک، کره و ایرفویل (یا همان جسم آیرودینامیکی) نشان داده شده. همان‌طور که می‌بینید از بالا به پایین میزان اختلاف فشار وارد شده به دو سر اجسام مفروض، کاهش می‌یابد. برای نمونه در دیسک، لایه‌های جریان در پشت آن بیشتر با یکدیگر فاصله دارند از این رو فشار کمتری در پشت آن وجود دارد. با ثابت فرض کردن فشار جریانِ ورودی دیسک، با کاهش فشار در پشت آن، اختلاف فشار جلو و پشت جریان زیاد‌تر شده و منجر به درگ بیشتری می‌شود. این در حالی است که برای ایرفویل فاصله‌ لایه‌ها در پشت و جلوی آن تقریبا یکسان هستند بنابراین درگ کمتری به ایرفویل وارد می‌شود.

درگ ناشی از نیروی برشی

جریان سیال را می‌توان به شکل لایه‌هایی از مولکول در نظر گرفت که روی یکدیگر میلغزند. از این رو در هنگام عبور سیال روی جسم، لایه‌های نزدیک‌تر به جسم دارای سرعت کمتری هستند، تا جایی که دقیقا روی مرز، سرعت سیال صفر است. این اختلاف سرعت منجر به ایجاد نیرویی اصطکاکی می‌شود که لایه‌ها به یکدیگر وارد می‌کنند. در حقیقت مولفه‌ای از این نیرو که در راستای جریان است، بخشی از درگ را تشکیل می‌دهد.

در شکل زیر بخش برشی و فشاری نیروی درگ به تفکیک نشان داده شده‌اند.

بنابراین در حالت کلی می‌توان گفت:

نیروی درگ ناشی از فشار + نیروی درگ ناشی از برش = نیروی درگ

نیروی درگ در تحلیل آیرودینامیکی خودروها بسیار تاثیر‌گذار است زیرا خودرویی که نیروی درگ کمتری به آن وارد شود، به سوخت کمتری نیاز خواهد داشت. دلیل دوکی شکل بودن خودروهای امروزی هم امر است. تصویر زیر دو بنز مربوط به سال‌های 1920 و 2016 را نشان می‌دهد. به راحتی می‌توان تفاوت شکل آیرودینامیکی را در این دو خودرو مشاهده کرد.