ریاضیات منحصراً با روابط متقابل مفاهیم سرو کار دارد، بی آنکه رابطه آنها را با تجربه در نظر گیرد. علم فیزیک هم با مفاهیم ریاضی سروکار دارد؛ با این حال، مفاهیم ریاضی تنها از طریق تعیین صریح و روشن رابطه شان با موضوعات تجربه است که به مباحث فیزیکی راه می یابند. این موضوع بخصوص در مورد مفاهیم حرکت، قضا، و زمان مصداق می یابد.
نظریه نسبیت آن نظریه فیزیکی است که بر پایه تفسیر فیزیکی منسجم این سه مفهوم استوار شده است. اصطلاح «نظریه نسبیت» با این واقعیت مرتبط است که حرکت، از دیدگاه تجربه ممکن، همواره همچون حرکت نسبی یک شیء در برابر شیء دیگر متجلی می گردد (مثلاً، حرکت یک اتومبیل نسبت به زمین، یا حرکت کره زمین نسبت به خورشید یا ستارگان ثابت). حرکت هیچ گاه به عنوان «حرکت نسبت به فضا» یا، چنانکه بعضی‌ها گفته اند، به عنوان «حرکت مطلق» قابل مشاهده نیست. «اصل نسبیت» را به گسترده ترین معنای آن می توان چنین بیان کرد: تمامی پدیدارهای فیزیکی دارای چنان خصلتی است که هیچ گونه جایی برای مفهوم «حرکت مطلق» باقی نمی گذارد. همین معنا را با بیانی کوتاهتر و دقتی کمتر می توان چنین عنوان کرد: حرکت مطلق به هیچ وجه وجود ندارد.
ممکن است چنین به نظر رسد که بینش و بصیرت ما از این تبیین منفی چندان طرفی نمی بندد. با وجود این، واقعیت آن است که این تبیین، تحدید و حصر شدیدی برای قوانین (قابل فهم) طبیعت محسوب می گردد. از این نظر، نوعی همانندی بین نظریه نسبیت و مبحث ترمودینامیک به چشم می خورد. این مبحث اخیر نیز بر پایه نوعی تبیین منفی استوار شده است: «متحرک دائمی مطلقاً وجود ندارد».
تکامل نظریه نسبیت در دو مرحله به عمل آمد، «نظریه نسبیت خاص» و «نظریه نسبیت عام». نظریه اخیر ارزش و اعتبار نظریه نخست را همچون حالتی محدود کننده می پذیرد، و خودش تداوم منسجم آن است.
الف ـ نظریه نسبیت خاص
تفسیر فیزیکی فضا و زمان در مکانیک کلاسیک
هندسه، از دیدگاه فیزیکی، عبارت است از کل قوانین ناظر بر طرق ممکن قرار گرفتن اجسام سخت (صلب) ساکن نسبت به همدیگر (برای مثال، مثلث عبارت است از سه پاره خط که سر و ته آنها به طور مداوم با یکدیگر در تماس باشد). فرض بر این است که با چنین تعبیری قوانین اقلیدسی از اعتبار لازم برخوردارند. در این تعبیر، «فضا» علی الاصول نوعی جسم سخت نامتناهی (یا استخوان بندی) محسوب می گردد که وضع تمام اجسام دیگر نسبت به آن سنجیده می شود (جسم مرجع). هندسه تحلیلی (دکارت) از سه محور سخت عمود بر یکدیگر به عنوان جسم مرجع (که نماینده فضاست) استفاده می کند، و روی همین محورهاست که «مختصات» (z.y.x) نقطه های فضایی، با روش مشهور ترسیم عمود از آنها به محورها، مورد اندازه گیری قرار می گیرد (به کمک یک واحد اندازه گیری سخت).
علم فیزیک با «رویدادها»یی در فضا و زمان سروکار دارد. به هر یک از این رویدادها، علاوه بر مختصات مکانی z , y, x, مقدار زمانی t هم تعلق می گیرد. این مقدار اخیر به وسیله نوعی ساعت (فرایند تناوبی آرمانی) با بعد فضایی ناچیز قابل اندازه گیری محسوب می شد. این ساعت C را باید به حالت ساکن در نقطه ای از دستگاه مختصات در نظر گرفت، مثلاً در نقطه مبدأ مختصات (x=y=z=o) . بنابراین، زمان رویدادی که در نقطه ای مانند P (x,y,z) به وقوع می پیوندد، همان زمانی است که ساعت C، به طور همزمان با رویداد، نشان می دهد. در اینجا فرض بر آن است که مفهوم «همزمانی» بدون تعریف فیزیکی خاص گویا و معنی دار است. این فقدان دقت فقط هنگامی بی ضرر به نظر می رسد که به کمک نور (که سرعتش از نظر تجربیات روزمره عملاً بی نهایت است) بتوان همزمانی رویدادهای دور دست در فضا را بی درنگ تشخیص داد.
نظریه نسبیت خاص این فقدان را با تعریف فیزیکی همزمانی به کمک علامتهای نوری برطرف می سازد. زمان t رویدادهای معین در p با خواندن ساعت C در زمان رسیدن علامت نوری منتشر شده از رویداد مورد بحث به دست می آید، مشروط بر آنکه زمان لازم برای رسیدن علامت نوری از مبدأ به ساعت C نیز در محاسبات مورد توجه قرار گیرد. این تصحیح، فرض (اصل موضوعه) را بر آن می گذارد که سرعت نور ثابت است.
این تعریف، مفهوم همزمانی رویدادهای دور دست در فضا را به مفهوم رویدادهایی مبدل می سازد که در محل واحد رخ می دهند (تلاقی)، یعنی رسیدن علامت نوری به C و خواندن C .
مکانیک کلاسیک بر پایه اصل گالیله استوار است: هر جسم تا هنگامی که اجسام دیگر بر آن تأثیر نگذارند در حرکت خطی مستقیم و یکنواخت باقی خواهد ماند. این اصل در مورد دستگاههای مختصاتی که به دلخواه حرکت می کنند، صادق نیست و فقط می تواند در مورد سیستمهای موسوم به «دستگاه لخت» (1) معتبر باشد. دستگاههای لخت نسبت به یکدیگر در حال حرکت خطی مستقیم و یکنواخت اند. در فیزیک کلاسیک اعتبار قوانین فقط در حد دستگاههای لخت است (اصل نسبیت خاص).
اینک بهتر می توان به درک معضلی نایل آمد که به نظریه نسبیت خاص منجر شد. تجربه و تئوری تدریجاً به این نتیجه رسیدند که نور در خلأ همواره با سرعت ثابت C، مستقل از رنگ خودش و نیز مستقل از حالت حرکت منبع نورانی، منتشر می شود (اصل ثبات سرعت نور ـ که از این پس با اصطلاح «اصل L» از آن یاد خواهیم کرد). حال، بعضی ملاحظات شهودی ابتدایی ظاهراً حاکی از آن است که یک پرتو نورانی مشخص نمی تواند نسبت به تمام دستگاههای لخت با سرعت ثابت C حرکت کند. در اینجا به نظر می رسد که «اصل L» اصل نسبیت خاص را نقض می کند.
با این وصف، چنین بر می آید که تناقض مورد بحث ظاهری است و در اساس از پیشداوریهایی سرچشمه می گیرد که در مورد خصلت مطلق زمان یا، بهتر گفته شود، در مورد خصلت مطلق همزمانی رویدادهای دور دست وجود دارد. ما، هم اکنون دیدیم که t, z, y, x هر رویداد معین را در حال حاضر فقط می توان نسبت به نوعی دستگاه مختصات برگزیده (دستگاه لخت) تعیین کرد. تبدیل t, z, y, x رویدادهایی که با عبور از یک دستگاه لخت به دستگاهی دیگر ضرورت می یابد (تبدیل مختصات)، مسئله ای است که بدون بعضی مفروضات فیزیکی خاص قابل حل نیست. با این حال، اصل موضوعه (2) زیر برای حل مسئله دقیقاً کافی است: «اصل L» در مورد تمام دستگاههای لخت صدق می کند (انطباق اصل نسبیت خاص بر «اصل L»). تغییراتی را که بدین گونه توصیف و تعریف می شوند، و در t, z, y, x خطی هستند، تبدیلهای لورنتس می نامند. تبدیلهای لورنتس به طور صوری با این الزام مشخص می گردند که عبارت جبری

که از تفاوتهای مختصاتی
dt,dz,dy,dx
دو رویداد بی نهایت نزدیک به هم تشکیل یافته است، لایتغیر باشد (یعنی، به هنگام تبدیل یک دستگاه مختصات به دستگاه دیگر، عبارت جبری فوق همچنان بی تغییر باقی بماند).
به کمک تبدیلهای لورنتس اصل نسبیت خاص را می توان چنین بیان کرد: قوانین طبیعت نسبت به تبدیلات لورنتس لایتغیرند (یعنی هرگاه دستگاه لخت جدیدی را، به یاری نوعی تبدیل لورنتس در t, z, y, x ، وارد هر یک از قوانین طبیعت کنیم، تغییری در شکل آن قانون پدید نمی آید).
نظریه نسبیت خاص درک روشنی از مفهوم فیزیکی فضا و زمان به دست داده و از این طریق شناخت رفتار درازاسنج های متحرک و ساعتها را نیز ممکن ساخته است. نظریه نسبیت خاص مفهوم همزمانی مطلق و، بنابراین، مفهوم هرگونه کنش آنی از فاصله دور را به معنای نیوتنی آن از میان بر می دارد. این نظریه نشان داده است که قانون حرکت را، در مورد حرکتهایی که در مقایسه با سرعت نور آنقدر ناچیز نیستند که نادیده انگاشته شوند، چگونه باید تغییر داد. نظریه نسبیت خاص معادله های میدان الکترومغناطیسی مکسول (3) را نیز از نظر صوری واضح تر ساخته و بویژه، یکی بودن میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی را قابل درک کرده است. نظریه مذکور قوانین بقای اندازه حرکت و بقای انرژی را در قانون واحدی ادغام کرده و هم ارزی جرم و انرِژی را به اثبات رسانیده است. از نظر صوری دستاورد نظریه نسبیت خاص را می توان چنین مشخص کرد: این نظریه به طور کلی نقشی را که ثابت جهانی C (سرعت نور) در قوانین طبیعت ایفا می کند آشکار ساخته و به اثبات رسانده است که بین شکل ورود زمان و شکل ورود مختصات فضایی در قوانین طبیعت، ارتباط نزدیکی وجود دارد.
ب ـ نظریه نسبیت عام
نظریه نسبیت خاص، پایه مکانیک کلاسیک را در قالب یک نکته بنیادین محفوظ نگاه می داشت؛ با این توضیح: قوانین طبیعت فقط در مورد دستگاه های لخت معتبرند. تبدیلهای «مجاز» برای مختصات (یعنی آنهایی که شکل قوانین را دگرگون نمی سازند) منحصراً تبدیلهای خطی لورنتس هستند. آیا چنین محدودیتی واقعاً در پدیدارهای فیزیکی نمود می یابد؟ استدلال زیر به طرز قانع کننده ای نافی این امر است.
اصل هم ارزی - هر جسم در عین حال، هم دارای جرم لخت است (مقاومت در برابر شتاب) و هم دارای جرم وزنی (که وزن آن جسم را در هر میدان گرانشی مشخص، مثلاً در سطح کره زمین، معنی می کند). این دو کمیت، که برحسب تعاریف آن همه متفاوتند، براساس تجربه با یک عدد واحد مورد سنجش قرار می گیرند. این امر باید دلیلی ژرفتر داشته باشد. موضوع را می توان این طور هم بیان کرد: در میدان گرانشی جرمهای مختلف یکسان شتاب می گیرند. سرانجام، موضوع مورد بحث را بدین طریق هم ممکن است توضیح داد: اجسام در میدان گرانشی می توانند همان رفتاری را داشته باشند که در فقدان میدان گرانشی دارند، مشروط بر آنکه در حالت اخیر دستگاه مرجع مورد استفاده نوعی دستگاه مختصات با شتاب یکنواخت باشد (به جای دستگاه لخت).
بنابراین، ظاهراً دلیل وجود ندارد که تفسیر زیرین درباره حالت اخیر را ممنوع بشماریم: دستگاه را به حالت «ساکن» در نظر می گیریم و میدان گرانشی «ظاهری» را که نسبت به آن دستگاه وجود دارد میدان «حقیقی» فرض می کنیم. این میدان گرانشی که بر اثر شتاب دستگاه مختصات «تولید» می شود، مسلماً دامنه ای نامحدود خواهد داشت، به نحوی که جرمهای گرانشی موجود در منطقه ای متناهی قادر به ایجاد آن نخواهند بود. با این وصف، اگر در جستجوی نوعی نظریه میدان مانند باشیم، این امر مانعی در راه ما به وجود نخواهد آورد. با چنین تفسیری، دستگاه لخت معنای خود را از دست می دهد، و ما «توضیحی» برای برابری جرم وزنی و جرم لخت در اختیار خواهیم داشت (این هر دو در حقیقت یکی از خواص ماده اند که، بر حسب شیوه توصیف، همچون وزن یا همچون لختی ظاهر می شوند).
پذیرش نوعی دستگاه مختصات که نسبت به دستگاه «لخت» نخستین شتاب گیرنده باشد، از نظر صوری، به معنای پذیرش تبدیلهای غیر خطی مختصات و، در نتیجه، به معنای گسترش بسیار پردامنه مفهوم ناوردایی (4)، یعنی اصل نسبیت، خواهد بود.
نخست اینکه، نوعی بحث و گفتگوی نافذ، بر مبنای نتایج حاصل از نظریه نسبیت خاص، نشان خواهد داد که با چنین تعمیمی، مختصات را دیگر نمی توان مستقیماً همچون نتایج اندازه گیریها به شمار آورد. فقط تفاوت مختصات همراه با مقادیر میدان، که توصیفی از میدان گرانشی خواهند بود، فواصل قابل اندازه گیری بین رویدادها را تعیین خواهند کرد. پس از آنکه متوجه شدیم که ناگزیر باید تبدیلهای غیر خطی مختصات را به عنوان تبدیلهای بین دستگاههای مختصات هم ارز بپذیریم، ساده ترین چیز ظاهراً عبارت خواهد بود از پذیرش همه تبدیلهای مداوم مختصات (که نوعی گروه را تشکیل می دهند)؛ یا به عبارت دیگر، پذیرش دستگاههای مختصات منحنی الخط دلخواهی که در آنها میدانها به وسیله تابعهای (5) منظم توصیف می شوند (اصل نسبیت عام).
اینک درک این مطلب دشوار نیست که چرا اصل نسبیت عام (بر اساس اصل هم ارزی) به نظریه گرانش انجامیده است. نوعی خاصی از فضا وجود دارد که ساختار فیزیکی آن (یعنی میدان) را می توانیم دقیقاً بر اساس نظریه نسبیت خاص معلوم و شناخته شده بدانیم. منظور فضای تهی است، بدون میدان الکترومغناطیسی و بدون ماده. این فضا را می توان به وسیله خاصیت «متری» (6)اش کاملاً معین کرد: فرض کنیم

تفاوتهای مختصاتی دو نقطه (دو رویداد) بی نهایت نزدیک به هم باشند؛ پس،

کیفیت قابل سنجشی مستقل از گزینش خاص دستگاه لخت است. حال، اگر مختصات جدید x4, x3, x2, x1 ، را از طریق تبدیل کلی مختصات در این فضا وارد کنیم، مقدار d82 برای همان یک جفت نقطه دارای جمله ای جبری به شرح زیر خواهد بود:
(جمع برای i و k از 1 تا 4)

که در آن gik. gik = gki که نوعی «تانسور متقارن» (7) را تشکیل می دهند، و تابعهای پیوسته

نیز هستند، بنابر «اصل هم ارزی» بیانگر نوعی خاص از میدان گرانشی اند (یعنی میدانی که از قابلیت تبدیل مجدد به شکل [1] برخوردار است). با استفاده از بررسیهای ریمن در مورد فضاهای متری کاملاً می توان به خواص ریاضی این میدان gik پی برد («شرط ریمن») (8).
با این وصف، چیزی که ما در جستجویش هستیم معادله هایی است که با میدانهای گرانشی «عام» توافق داشته باشند. این طبیعی است که فرض کنیم آنها را هم می توان به عنوان میدانهای تانسوری از نوع gik توصیف کرد که به طور کلی از قابلیت تبدیل به شکل (1) برخوردار نیستند، یعنی با «شرط ریمن» وفق نمی دهند، ولی با شرایط ضعیف‌تری توافق دارند، که آنها هم، درست مانند شرط ریمن، مستقل از گزینش مختصاتند (یعنی به طور کلی ناوردا). ملاحظه صوری ساده ای ما را به شرایط ضعیف‌تر، که از نزدیک با شرط ریمن مرتبطند، رهنمون می شود. این شرایط معادله های حقیقی میدان گرانشی خالص محسوب می گردند (در خارج از ماده و در فقدان میدان الکترومغناطیسی).

این معادلات پدید آورنده معادلات مکانیک گرانشی نیوتن به عنوان قانونی تقریبی و همچنین بعضی آثار و عوارض کوچک اند که مشاهده علمی آنها را تأیید کرده است (انحراف نور بر اثر میدان گرانشی یک ستاره، تأثیر پتانسیل گرانشی بر فرکانس نور منتشر شده، چرخش کند مدارهای بیضوی سیارات ـ حرکت حضیضی سیاره عطارد). همین معادلات توضیحاتی هم برای حرکت انبساطی منظومه های کهکشانی (9) به دست می دهند که بر اثر جا به جایی قرمز (10)، نور منتشر شده از این منظومه ها به ظهور می رسد.
نظریه نسبیت عام هنوز کامل نیست، چون تاکنون فقط قادر بوده است که اصل نسبیت عام را در مورد میدانهای گرانشی به کار بندد، نه در مورد میدان به طور کلی. ما هنوز به یقین نمی دانیم که با کدام مکانیسم ریاضی باید میدان کلی (11) را در فضا توصیف کرد، و قوانین عام و ناوردای حاکم بر این میدان کلی از چه قرارند، با وجود این، یک چیز مسلم به نظر می رسد؛ و آن اینکه اصل نسبیت عام افزار لازم و مؤثری برای حل مسئله میدان کلی خواهد بود.

برای درک قانون هم ارزی جرم و انرژی، ما باید به دو اصل بقا یا «موازنه» برگردیم که هر دوی آنها در فیزیک پیش از نسبیت، مستقل از یکدیگر، دارای اهمیت فراوان بودند. این دو اصل عبارت بودند از اصل بقای انرژی و اصل بقای جرم. نخستین آنها، که به وسیله لایبنیتز (12) در قرن هفدهم مطرح شده، در قرن نوزدهم اساساً به عنوان نتیجه جبری یکی از اصول مکانیک بسط یافت.
برای مثال، آونگی را در نظر بگیرید که جرم آن بین نقطه های A و B در نوسان باشد. در این دو نقطه جرم m به اندازه h بالاتر از همان جرم در نقطه C، یعنی پایین ترین نقطه سیر است (رجوع کنید به تصویر). از سوی دیگر، در نقطه C ارتفاع صعود از بین رفته و به جای آن جرم آونگ دارای سرعت V شده است، وضع چنان است که گویی ارتفاع صعود می تواند به تمامی مبدل به سرعت گردد، و برعکس. این رابطه را دقیقاً می توان به شکل

نشان داد، که در آن g نماینده شتاب گرانش است، چیز جالب توجه در اینجا آن است که این رابطه در عین حال مستقل از درازای آونگ و شکل مسیری است که جرم در امتداد آن حرکت می کند.
معنای این امر آن است که چیزی در سراسر این فرایند ثابت می ماند، و این چیز همانا انرژی است. در A و B ما با انرژی موضع (13) یا انرژی «پتانسیل» سروکار داریم؛ و در نقطه C با انرژی حرکت، یا انرژی «جنبشی» (14).
هرگاه این مفهوم درست باشد، حاصل جمع

لزوماً باید در هر موضع آونگ یکسان باشد، به شرط آنکه در مسیر آونگ، h را معرف ارتفاع بالای C و V را معرف سرعت در همان نقطه بدانیم. تجربه نشان داده است که در واقع هم چنین است. تعمیم این اصل ما را به قانون بقای انرژی مکانیکی می رساند. اما هنگامی که نیروی اصطکاک آونگ را متوقف می سازد چه روی می دهد؟
پاسخ این پرسش را در ضمن مطالعه پدیده های حرارتی به دست آوردند. این مطالعه، براساس این فرض که حرارت ماده ای نابود نشدنی است که از شیء گرمتر به شیء سردتر جریان می یابد، ظاهراً ما را به اصل «بقای حرارت» می رساند. از سوی دیگر، از دیرباز بر همه معلوم بود که اصطکاک حرارت تولید می کند ـ همان طور که بومیان با مته های دستی خود به افروختن آتش مبادرت می ورزند. فیزیکدانان تا مدتهای مدید توضیحی برای این گونه تولید حرارت نداشتند. دشواریهای آنان هنگامی به سر آمد که به طرز موفقیت آمیزی ثابت شد برای هر مقدار حرارت تولید شده بر اثر اصطکاک، دقیقاً همان مقدار انرِژی باید به کار برده شود. بدین ترتیب، رسیدیم به اصل «هم ارزی کار و حرارت.» مثلاً در مورد آونگ خودمان، انرژی مکانیکی بر اثر اصطکاک به تدریج مبدل به حرارت می شود.
بدین گونه بود که اصول بقای انرژیهای مکانیکی و حرارتی در یکدیگر ادغام شدند. بنابراین، فیزیکدانان معتقد شدند که اصل بقا را می توان به فرایند های شیمیایی و الکترومغناطیسی و ـ کوتاه سخن ـ به تمام زمینه های دیگر تسری داد. در نهایت امر، معلوم شد که در نظام طبیعی ما مجموعه ای از انرژیهای گوناگون وجود دارد که در جریان همه تغییرهایی که ممکن است روی دهد ثابت باقی می ماند.
حال می پردازیم به بقای جرم. جرم را همچون مقاومتی تعریف می کنیم که هر جسم در برابر شتاب گرفتن نشان می دهد (جرم لخت). اندازه گیری آن نیز به وسیله وزن جسم صورت می گیرد (جرم وزنی). اینکه هر دو تعریف اساساً متفاوت فوق الذکر در مورد جرم جسم به مقدار یکسانی می رسند، خود واقعه ای حیرت انگیز است. به موجب این اصل که جرمها در جریان تمام تغییر و تبدیلهای شیمیایی یا فیزیکی ثابت باقی می مانند، چنین به نظر می رسد که جرم ( به سبب تغییر ناپذیریش) کیفیت ذاتی ماده است. گرم کردن، ذوب کردن، بخار کردن، یا ترکیب کردن با مواد شیمیایی، هیچ کدامشان جرم کل را تغییر نمی دهند.
فیزیکدانان تا چند دهه پیش این اصل را قبول داشتند، اما در برابر نظریه نسبیت خاص، اصل مذکور اعتبار خود را از دست داد. اصل بقای جرم و اصل بقای انرژی در یکدیگر ادغام شدند ـ همان طور که شصت سال پیشتر اصل بقای انرژی مکانیکی و اصل بقای حرارت در یکدیگر ادغام شده بودند، شاید بتوان گفت که اصل بقای انرژی، همان طور که قبلاً اصل بقای حرارت را بلعیده بود، اینک به بلعیدن اصل بقای جرم پرداخته و یکه تاز میدان شده است.
مرسوم است که هم ارزی جرم و انرژی را (به طرزی نه چندان صحیح) با فرمول

توضیح می دهند. در این فرمول، C نماینده سرعت نور است که تقریباً به 186 هزار مایل [در حدود 300 هزار کیلومتر] در ثانیه می رسد. E انرژی موجود در جسم ساکن است، و m جرم آن. انرژی متعلق به جرم m برابر است با این جرم ضرب در مجذور سرعت عظیم نور ـ یعنی مقدار بسیار زیادی انرژی برای هر واحد جرم.
اما این پرسش پیش می آید که اگر هر گرم از ماده حاوی این مقدار عظیم انرژی است، پس چرا این همه وقت از نظر پنهان مانده بود؟ پاسخ بسیار ساده است: تا هر زمان که این انرژی نمود خارجی پیدا نکند، قابل مشاهده نخواهد بود. درست همان طور که اگر شخص بسیار ثروتمندی هرگز دیناری خرج نکند یا نبخشد، هیچ کس از ثروت او با خبر نمی شود.
اینک می توانیم رابطه را معکوس کنیم و بگوییم که هر افزایش انرژی E لزوماً باید با افزایشی معادل E/C^2 در جرم همراه باشد. من به آسانی می توانم به جرم انرژی بدهم ـ مثلاً، با گرم کردن آن به میزان 10 درجه ـ پس چرا افزایش جرم، یا افزایش وزن، را در ارتباط با این تغییر نسنجیم؟ اشکال کار این است که در افزایش جرم عامل عظیم C^2 در مخرج کسر قرار می گیرد. بنابراین، افزایش جرم بیش از آن کوچک خواهد بود که بتوان آن را، حتی با حساسترین ترازوها، به طور بی واسطه اندازه گرفت.
برای آنکه افزایش جرم قابل اندازه گیری باشد، تغییر انرژی به نسبت هر واحد از جرم باید فوق العاده زیاد باشد، در حال حاضر، ما فقط یک حوزه منحصر به فرد را می شناسیم که قادر به آزاد ساختن چنین مقادیری از انرژی است: فروپاشی (15) رادیواکتیو. به طور مجمل، جریان امر از این قرار است: یک اتم از جرم M می شکافد و به دو اتم با جرمهای "M و "M تقسیم می گردد که با انرژی جنبشی خارق العاده ای از یکدیگر جدا می شوند. حال، اگر این دو جرم را به حالت ساکن برگردانیم ـ یعنی، اگر این انرژی حرکت را از آنها بگیریم ـ آنوقت حتی هر دوی آنها با هم، از حیث انرژی، اساساً فقیرتر از اتم آغازین اند. موافق اصل هم ارزی، مجموع جرمهای محصول فروپاشی، یعنی "M" + M نیز باید تا حدی از جرم M اتم متلاشی شده کوچکتر باشد ـ و این امر با اصل قدیمی بقای جرم در تضاد است. تفاوت نسبی ان دو در حد1/10 یک درصد است. اما واقعیت این است که ما قادر به توزین یکایک اتمها نیستیم. با این حال، روشهای غیر مستقیمی برای اندازه گیری دقیق وزن اتمها وجود دارد. به همین سان می توانی انرژی جنبشی منتقل شده به جرمها "M و "M محصول فروپاشی را تعیین کنیم. بنابراین، آزمودن و تأیید فرمول هم ارزی ممکن شده است. قانون هم ارزی در عین حال به ما امکان می دهد که از طریق تعیین دقیق وزنهای اتمی، پیشاپیش محاسبه کنیم که چه مقدار انرژی از متلاشی شدن هر نوع اتمی که در نظر داشته باشیم به دست خواهد آمد. البته، این قانون درباره امکان، یا چگونگی پدید آمدن واکنش فروپاشی چیزی به ما نخواهد گفت.
با این حال، شرح ماجرا را می توان به یاری همان شخص ثروتمندی که گفتیم، به تصویر کشید: اتم M ثروتمند خسیسی است که در طول عمر خود پولی (انرژی) از دست نمی دهد، ولی در وصیت نامه اش تمام دارایی خود را به دو پسرش "M و "M می بخشد، مشروط بر آنکه بخش ناچیزی از آن را، که کمتر از یک هزارم کل دارایی اش (انرژی یا جرم) می شود خرج جامعه کنند. ثروت پسران روی هم رفته کمتر از ثروت پدرشان است (حاصل جمع جرمی "M + "M تا حدی کوچکتر از جرم M اتم رادیو آکتیو است) ـ ولی آن بخش از این دارایی که به جامعه داده می شود، هر چند به طور نسبی ناچیز است، باز هم (به صورت انرژی جنبشی) آنقدر کلان است که خطر عظیمی را به همراه می آورد. و، دفع این خطر به صورت ضروری ترین و مبرمترین مسئله عصر ما درآمده است .